More sentences, more highly contrived examples. Finally getting to the interesting verb constructions. Good for all occasions. Except, possibly, mime conventions.

N は V-て います。 -> N is doing V.
猫は眠っています。
[Basic V-て forms are actually kinda complicated. I'm going to skip all but the simplest version here.]

N は V1-て V2-て V3-ます。 -> N does V1, V2, and V3.
猫は鼠を探して、捕って、食べました。

N は V1-てから V2-ます。 -> N does V2 after V1.
猫は食べてから眠ります。

N は V1 前に V2-ます。 -> N does V2 before V1.
猫は眠る前に食べます。

V-て ください。 -> Please do V.
食べてください。

V-ない でください。 -> Please don't do V.
眠らないでください。

V-て くださいませんか。 -> Would you please do V?
写真を取ってくださいませんか。

V-て いただきませんか。 -> Would you mind doing V?
写真を取っていただきませんか？

V-て ほしいです。 -> I want V.
お腹が空きました。食べてほしいです。

V-て ほしいんですが。 -> I'd like to have V.
眠いです。眠ってほしいんですが。

V-て もいいですか。 -> Is it okay to do V?
ここで写真を取ってもいいですか？

V-て もかまいませんか。 -> Do you mind if [I] do V?
あなたと一緒に行ってもかまいませんか？

V-て はいけません。 -> You shouldn't do V.
そこへ行ってはいけません。

V-て はだめです。 -> You can't do V.
ここに泊まってはだめです。

Well, those sentences probably said something or other.